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REVISTA PERSPECTIVAS
VOLUMEN 7, N˚1 / ENERO - JUNIO 2025 / e - ISSN: 2661
METODOLOGÍA PARA MEDIR LA FUNCIÓN DE
TRANSFERENCIA EN TIEMPO REAL DE SISTEMAS
DINÁMICOS EN OPERACIÓN
1
Facultad de Ciencias de la Computación, Benemérita Universidad Autónoma de Puebla, México.
2
Facultad de Matemáticas, Universidad Autónoma de Yucatán, México.
RESUMEN ABSTRACT
Carlos García Díaz
1
Ana Claudia Zenteno Vázquez
1
Raúl Antonio Aguilar Vera
2
Gustavo Trinidad Rubín Linares
1
carlos.garciadiad@alumno.buap.mx
ana.zenteno@correo.buap.mx
gustavo.rubin@correo.buap.mx
avera@correo.uady.mx
María del Carmen Santiago Díaz
1
Judith Pérez Marcial
1
marycarmen.santiago@correo.buap.mx
judith.perez@correo.buap.mx
Este artículo presenta una metodología sólida
para poder medir la función de transferencia de
un sistema dinámico en operación mediante la
aplicación de una señal delta como entrada. La
respuesta impulsiva de los sistemas se analiza en
el dominio de Laplace, así permitiéndonos obtener
información clave sobre su comportamiento,
estabilidad y desempeño. Se propone un enfoque
comparativo entre la función de transferencia
nominal y su medida para detectar los fallos o
deficiencias, evaluando las métricas como lo son
el margen de ganancia y fase. Además, se utiliza
un análisis en el dominio de la frecuencia para
poder identificar las alteraciones en la dinámica
del sistema. Esta metodología resulta útil para
realizar el diagnóstico y mantenimiento de
sistemas de control, mejorando su confiabilidad
y robustez ante las variaciones operativas y fallos
estructurales del sistema.
Palabras Clave: Función de Transferencia,
Sistemas Dinámicos, Señal Delta, Respuesta
Impulsiva, Análisis en Frecuencia, Estabilidad del
Sistema, Diagnóstico de Fallos, Control Robusto,
Identificación de Sistemas, Perturbaciones
This paper presents a robust methodology to
measure the transfer function of a dynamic system
in operation by applying a delta signal as input.
The impulse response of the systems is analyzed
in the Laplace domain, thus allowing us to obtain
key information about their behavior, stability, and
performance. A comparative approach is proposed
between the nominal transfer function and its
measurement to detect faults or deficiencies,
evaluating metrics such as gain margin and phase.
In addition, a frequency domain analysis is used
to identify alterations in the system dynamics.
This methodology is useful for diagnosing and
maintaining control systems, improving their
reliability and robustness against operational
variations and structural failures of the system.
Keywords: Transfer Function, Dynamic Systems,
Delta Signal, Impulse Response, Frequency
Analysis, System Stability, Fault Diagnosis, Robust
Control, System Identification, Disturbances
Methodology for Measuring the Real-Time Transfer Function of
Dynamic Systems in Operation
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VOLUMEN 7, N˚1 / ENERO - JUNIO 2025 / e - ISSN: 2661
DOI: https://doi.org/10.47187/perspectivas.7.1.241
Fecha de Recepción: 15/02/2025. Fecha de Aceptación: 20/03/2025 Fecha de Publicación: 28/05/2025
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I. Introducción
En el campo de la ingeniería de control y la
teoría de sistemas computacionales, la función
de transferencia es una de las herramientas
primordiales para poder modelar y analizar el
comportamiento dinámico de sistemas lineales e
invariantes en el tiempo. Esta es la representación
matemática, que relaciona la entrada y la salida
de un sistema en el dominio de la frecuencia,
permitiendo a los ingenieros predecir la
respuesta del sistema ante diversos estímulos y
así poder diseñar estrategias de control eficientes
[1].
Sin embargo, uno de los principales desafíos en la
práctica es la presencia de diversas perturbaciones
externas o internas, las cuales pueden alterar
de manera significativa el comportamiento del
sistema y, por lo consiguiente, la precisión del
modelo basado en la función de transferencia [2].
Las perturbaciones, ya sean de origen ambiental,
instrumental o inherentes al proceso, agregan
cierta incertidumbre en el sistema, lo que nos
puede llevar a diversas discrepancias entre el
modelo teórico y el comportamiento real del
sistema.
Este fenómeno es particularmente crítico en
aplicaciones donde se requiere mucha precisión
debido a que son aplicaciones de alto riesgo, como
por ejemplo el control de aeronaves, sistemas de
energía o procesos industriales complejos, donde
incluso pequeñas desviaciones pueden tener
consecuencias significativas [3]. El comprender
cómo las perturbaciones afectan la función de
transferencia y, en consecuencia, el modelo del
sistema es un problema de gran relevancia tanto
teórica como práctica [4].
En diversos artículos de investigación, se han
propuesto diversas metodologías para abordar
este desafío, desde técnicas de robustez y control
adaptativo hasta algunos enfoques basados en la
identificación de sistemas en presencia de ruido.
Por ejemplo, en algunos artículos se analiza el
impacto de perturbaciones estocásticas en la
estabilidad de sistemas lineales [6], mientras
en otros se propone un método para compensar
perturbaciones en sistemas no lineales utilizando
controladores sumamente más robustos [7].
Nuestro artículo busca contribuir a cerrar esta
brecha mediante un análisis sistemático de los
efectos de las perturbaciones en la función de
transferencias y su influencia en la precisión y
confiabilidad del modelo.
El objetivo principal de este trabajo es investigar
cómo la introducción de las perturbaciones en
un sistema altera su función de transferencia y,
en consecuencia, su modelo dinámico. Para esto,
se propone un marco teórico que nos permite
cuantificar estos cambios y se representan
estudios de caso que ilustran la magnitud de
las desviaciones en diversos escenarios. Los
resultados obtenidos no solo nos enriquecen
en la comprensión teórica del problema, sino
que también proporcionan más herramientas
prácticas para el diseño de sistemas de control
más robustos y resilientes.
La función de transferencia es una de las
herramientas matemáticas más fundamentales en
la teoría de control y sistemas dinámicos. En donde
se representa la relación entre la entrada y la salida
de un sistema lineal e invariante en el tiempo (LTI)
en el dominio de la frecuencia. Para un sistema
continuo, la función de transferencia G(s) se define
como el cociente entre la transformada de Laplace
de la salida Y(s) y la transformada de Laplace de
la entrada U(s), bajo la suposición de condiciones
iniciales nulas [1]:
En la Ec. 1. Podemos observar que la
representación es particularmente útil debido a
que nos permite analizar las propiedades clave
del sistema, como la estabilidad, la respuesta
transitoria y la respuesta en frecuencia, sin
necesidad de resolver ecuaciones diferenciales
en el dominio del tiempo [2]. Además, la
función de transferencia nos facilita el diseño
II. Marco Teórico
(1)G (s) =
Y (s)
U (s)
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de controladores mediante técnicas como el
lugar geométrico de las raíces y el análisis de
Bode [3].
Sin embargo, la función de transferencia
tiene algunas limitaciones inherentes.
Particularmente, asume que el sistema es
lineal, invariante en el tiempo y no está sujeto
a perturbaciones externas o internas. Estas
suposiciones se cumplen rara vez en aplicaciones
prácticas, lo que nos lleva a una discrepancia
entre el modelo teórico y el comportamiento
real del sistema [4].
Las perturbaciones son señales no deseadas que
afectan principalmente el comportamiento de
un sistema dinámico. Es posible clasificarlas
en dos categorías principales: perturbaciones
determinísticas y perturbaciones estocásticas.
Donde las perturbaciones determinísticas
son señales predecibles que son posibles de
modelarse matemáticamente, algunos ejemplos
comunes incluyen señales escalón, rampa y
sinusoidal. Estas perturbaciones suelen estar
asociadas a cambios abruptos en las condiciones
de operación, como variaciones en la carga de
un motor o fluctuaciones en la temperatura de
un proceso industrial [5].
Las perturbaciones estocásticas son señales
aleatorias que no son posibles de predecir con
certeza, por ejemplo, el ruido blanco, ruido
térmico y las vibraciones aleatorias. Estas
perturbaciones son particularmente desafiantes
debido a que requieren técnicas avanzadas de
modelado y control, como el filtrado de Kalman
o el control robusto [6].
Las perturbaciones pueden afectar al sistema de
diversas maneras. En primer lugar, es posible
que puedan alterar la función de transferencia
efectiva de nuestro sistema, lo que lleva a un
comportamiento impredecible. En segundo
lugar, pueden excitar modos no modelados del
sistema, lo que puede resultar en inestabilidad
o en la degradación del desempeño [7]. Por
último, las perturbaciones pueden introducir
errores en la medición de la salida del sistema,
lo que nos complica el diseño de las estrategias
del control basadas en la retroalimentación [8].
Una de las propiedades críticas en el diseño de
los sistemas de control es la robustez. Donde
hacemos referencia a la capacidad de un sistema
para mantener su desempeño ante la presencia
de diversas incertidumbres y perturbaciones.
Dentro del contexto de la función de
transferencia, la robustez se evalúa mediante
las siguientes métricas como es el margen de
ganancia y el margen de fase, los cuales indican
cuánto puede variar el sistema antes de volverse
inestable [9].
El margen de ganancia es el factor por el cual se
puede multiplicar la ganancia del sistema antes
de que este llegue a ser inestable. Un margen
de ganancia alto indica que el sistema puede
tolerar grandes variaciones en la ganancia sin
perder estabilidad. Mientras que el margen de
fase es el ángulo de fase adicional que se puede
agregar al sistema antes de que este se vuelva
inestable.
Un margen de fase alto nos indica que el sistema
puede tolerar retardos o desfases sin perder
estabilidad. Además de que ya tenemos estas
métricas clásicas, se han desarrollado técnicas
avanzadas para evaluar la robustez, como el
análisis de valores singulares y la síntesis H
∞
.
Estas técnicas nos permiten realizar el diseño
de controladores que garanticen un desempeño
aceptable incluso en presencia de perturbaciones
e incertidumbres [10].
Cuando los sistemas están sujetos a
perturbaciones, su función de transferencia
efectiva puede verse alterada de manera
significativa. Por ejemplo, las perturbaciones
aditivas en la entrada de los sistemas modifican
la relación entrada-salida, lo que nos da como
resultado una función de transferencia aparente
G´ (s) diferente del nominal G (s). Este cambio
puede llevar a ciertos errores en la predicción
del comportamiento del sistema y, en algunos
casos extremos, a la inestabilidad del sistema
[11].
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Tabla 1
TÉCNICAS DE MITIGACIÓN DE PERTURBACIONES
Técnicas de
Mitigación
Descripción
Control
Adaptativo
Esta técnica ajusta los parámetros del controla-
dor en tiempo real para compensar las pertur-
baciones y variaciones en el sistema.
Filtrado de
Perturbaciones
Utiliza filtros (por ejemplo, el filtro de Kal-
man) para estimar y eliminar las perturbacio-
nes de la señal de control.
Control Robusto
Aquí se diseñan controladores los cuales garan-
tizan el desempeño aceptable incluso en pre-
sencia de perturbaciones e incertidumbres.
Identificación de
Sistemas
Utiliza datos experimentales para estimar la
función de transferencia del sistema en pre-
sencia de perturbaciones. Esta técnica es útil
cuando el modelo teórico del sistema no es
preciso.
Además, las perturbaciones pueden llegar a afectar
los polos y ceros de la función de transferencia,
modificando así la respuesta en frecuencia del
sistema. Lo cual es particularmente crítico en
sistemas de control de retroalimentación, donde
pequeños cambios en la función de transferencia
pueden amplificarse y llevar a oscilaciones o
divergencias [12].
Para abordar el problema de las perturbaciones
en los sistemas de control, se han desarrollado
diversas técnicas, en las cuales destacan las que se
listan en la tabla 1:
Estas técnicas nos han demostrado ser efectivas en
una amplia gama de aplicaciones, desde sistemas
control de vuelo hasta procesos industriales
complejos.
La medición de la función de transferencia en
un sistema dinámico en operación, se lleva a
cabo aplicando una señal delta de Dirac δ(t) en la
entrada al sistema. La delta δ(t) tiene propiedades
que la hacen ideal para el análisis de la respuesta
de un sistema. En su dominio de la frecuencia, la
transformada de Laplace de una δ(t) es igual a 1, lo
que además de simplificar el análisis de sistemas
lineales e invariantes en el tiempo (LTI), nos
permite someter a un sistema simultáneamente
a un numero infinito de señales de prueba
simultáneamente.
III. Metodología
Como se muestra en la ecuación 1, un sistema en
el dominio de Laplace, es un sistema representado
por su función de transferencia nominal, donde:
• G(s) es la función de transferencia del sistema,
• Y(s) es la transformada de Laplace de la salida
y(t),
• U(s) es la transformada de Laplace de la entrada
u(t).
ya que al aplicar la señal delta δ(t) al sistema,
su transformada de Laplace es U(s) = 1, lo que
nos permite hacer mediciones directamente a la
respuesta impulsiva del sistema. Por lo tanto, la
salida del sistema en el dominio de Laplace será:
Al momento de aplicar la transformada inversa de
Laplace a Y(s), obtenemos la respuesta impulsiva
del sistema en el dominio del tiempo, y(t). De ésta
forma obtenemos la información clave sobre el
comportamiento del sistema:
• Polos y ceros la cual determinan la estabilidad
y dinámica del sistema,
• Tiempo de asentamiento o estado estacionario,
• Respuesta transitoria.
Para poder evaluar fallo o deficiencias en el
sistema, se introduce un análisis comparativo entre
la función de transferencia nominal y la función
de transferencia medida. Donde la desviación
que encontremos entre estas dos funciones puede
modelarse como en la ecuación 4.
Donde indica las alteraciones causadas por
perturbaciones, fallos o degradaciones en el
sistema. Si en la ecuación 4. obtenemos una
gran magnitud puede ser indicativa de fallos
significativos.
(2)
Y(s)=G(s)∙U(s)=G(s)
(3)
y(t)=L
-1
[G(s)]
(4)
∆G(s)=G
real
(s)-G
nominal
(s)
(5)
|G
real
(jw)| - |G
nominal
(jw)|
∠G
real
( j w) -∠G
nominal
(jw)
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La ecuación 5, nos muestra las diferencias que
pueden revelar frecuencias donde el sistema tiene
ciertos problemas de resonancia, amortiguamiento
insuficiente o degradación.
Las métricas de desempeño nos permiten evaluar
si el sistema cumple con los requisitos esperados
en termino de estabilidad, robustez y capacidad de
respuesta. Estas métricas se extraen del análisis
de la función de transferencia y su respuesta
impulsiva o en frecuencia.
El margen de ganancia mide la robustez del
sistema frente a incrementos de ganancia antes de
que el sistema llegue a ser inestable. Evaluamos en
la frecuencia de cruce de fase (ω
ϕ
), definida como
la frecuencia donde nuestra fae de la función de
transferencia alcanza -180°:
Interpretando la ecuación 6 de la siguiente manera:
• Si G
m
>1 , nos dice que el sistema es robusto a
incrementos de ganancia.
• Si G
m
≈1, interpretamos que el sistema está al
borde de la inestabilidad.
• Si G
m
<1, quiere decir que el sistema es
inestable.
Nuestro margen de fase nos llega a indicar la
cantidad de fase adiciones que se puede perder
antes de que el sistema llegue a ser inestable. En
donde medimos la frecuencia de cruce de ganancia
(ω
g
), que es la frecuencia donde |G(jω)| = 1:
Interpretando la ecuación 7, observaremos que:
Un ϕ
m
> 30° nos asegura un buen amortiguamiento
y estabilidad.
Si ϕ
m
≈ 0° nuestro sistema está cerca de ser
inestable.
Mientras que ϕ
m
< 0° nos indica inestabilidad.
(6)G
m
=
1
|G(jω
ϕ
)|
(9)
T
s
≈
4
(ζω
n
)
(7)
ϕ
m
= 180° + ∠G(jω
g
)
(10)
Y (s) = G(s)U(s) + D(s)
(8)
1
BW={ω: | G(jω)| ≥
.
|G(0)|}
La banda de paso es posible definirla como el
rango de frecuencias donde el sistema responde
adecuadamente (por ejemplo, cuando la ganancia
permanece por encima de un nivel definido como
-3dB respecto a su ganancia máxima):
Al interpretar la ecuación 8, interpretamos que si
obtenemos una banda de paso más amplia implica
que el sistema puede llegar a manejar señales
de mayor frecuencia sin ninguna atenuación
significativa. Como también interpretamos que,
si el BW es muy estrecho, nos puede indicar las
deficiencias en la velocidad de respuesta.
Nuestro tiempo de establecimiento mide cuánto
tarda la respuesta del sistema en permanecer
dentro de un margen especifico (2% o 5%) del
valor final tras una perturbación.
Para los sistemas de segundo orden, podemos
realizar la siguiente estimación como se muestra
en la ecuación 9,
Donde:
• ζ es el coeficiente de amortiguamiento.
• ω
n
es la frecuencia natural del sistema.
Aplicado en sistemas reales, las perturbaciones
externas (d(y)) o internas (n(t)) afectan de manera
significativa el desempeño del sistema. Realizando
un análisis más detallado, las perturbaciones se
modelan como señales adicionales en el sistema:
El sistema con perturbaciones puede representarse
como se muestra en la ecuación 10, donde:
• Y(s) es la salida tota,
• G(s) es la función de transferencia del sistema,
• U(s) es la entrada de control,
• D(s) es la transformada de Laplace de la
perturbación.
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Si las perturbaciones llegan a afectar la salida, la
función de transferencia efectiva del sistema se ve
modificada.
Para poder aislar el efecto de las perturbaciones,
se llega a emplear la superposición lineal:
Donde interpretamos ecuación 11, de la siguiente
forma:
Y
control
(s) = G(s)U(s)
Y
perturbación
(s) = D(s)
La perturbación puede identificarse y filtrarse con
técnicas de control adaptativo.
Para el dominio de la frecuencia, analizamos las
perturbaciones en función de su espectro. Donde
las perturbaciones D(s) pueden modelarse como
ruido blanco o señales sinusoidales de una baja
frecuencia (1/f):
En la ecuación 12 nuestra variable β es dependiente
del tipo de ruido:
• β = 0: Ruido blanco.
• β = 1: Ruido rosa.
• β = 2: Ruido marrón.
Para la compensación de las perturbaciones,
es posible lograrlo diseñando un controlador
que minimice la influencia de D(s). Si nuestro
sistema incluye un controlador de tipo C(s), el
modelo cerrado sería como el que se muestra en
la ecuación 13:
El principal objetivo del diseño es que T(s)
reduzca la sensibilidad del sistema frente a D(s).
En donde esto implica una alta ganancia en bajas
(11)
Y(s) = Y
control
(s)+Y
perturbación
(s)
(12)
|D(jω)|
≈
A
ω
β
(13)
T(s) =
(G(s)C(s)
1 + G(s)C(s)
frecuencias, para poder rechazar las perturbaciones
persistentes, además, una baja ganancia en alta
frecuencia para evitar la amplificación de ruido.
Aplicando estas métricas y modelos sugeridos
se proporciona una herramienta teórica solida
para poder diagnosticar fallos, compensar
perturbaciones y garantizar el desempeño
adecuado del sistema frente a condiciones reales
adversas.
Con esta metodología propuesta constituimos un
enfoque integral para poder realizar mediciones en
tiempo real con base de la función de transferencia
de sistemas dinámicos en operación. Haciendo
uso de señales delta y el análisis de respuesta en
frecuencia, logramos obtener una representación
más precisa del comportamiento de un sistema,
incluso bajo la influencia de perturbaciones
externas e incertidumbres. Con esta capacidad se
nos permite no solo identificar fallos y deficiencias
en los sistemas, sino también el desarrollo de
estrategias de control robustas y resilientes.
IV. Conclusión
[1] K. J. Åström and R. M. Murray, Feedback
Systems: An Introduction for Scientists
and Engineers, Princeton University Press,
2008.
[2] G. F. Franklin, J. D. Powell, and A. Emami-
Naeini, Feedback Control of Dynamic
Systems, 7th ed., Pearson, 2014.
[3] S. Skogestad and I. Postlethwaite,
Multivariable Feedback Control: Analysis
and Design, Wiley, 2005.
[4] J. C. Doyle, B. A. Francis, and A. R.
Tannenbaum, Feedback Control Theory,
Macmillan, 1992.
[5] P. Ioannou and J. Sun, Robust Adaptive
Control, Prentice Hall, 1996.
[6] H. K. Khalil, Nonlinear Systems, 3rd ed.,
Prentice Hall, 2002.
[7] M. V. Kothare, V. Balakrishnan, and M.
Morari, "Robust constrained model
predictive control using linear matrix
inequalities," Automatica, vol. 32, no. 10,
VII. Referencias
71
REVISTA PERSPECTIVAS
VOLUMEN 7, N˚1 / ENERO - JUNIO 2025 / e - ISSN: 2661
pp. 1361–1379, 1996.
[8] Z. Gao and S. X. Ding, "State and
disturbance estimator for time-delay systems
with application to fault estimation and
signal compensation," IEEE Transactions
on Signal Processing, vol. 55, no. 12, pp.
5541–5551, 2007.
[9] G. F. Franklin et al., Digital Control of
Dynamic Systems, 3rd ed., Prentice Hall,
1997.
[10] R. E. Kalman, "A New Approach to Linear
Filtering and Prediction Problems," Journal
of Basic Engineering, vol. 82, no. 1, pp.
35–45, 1960.
[11] J. C. Doyle, "Guaranteed Margins for
LQG Regulators," IEEE Transactions on
Automatic Control, vol. 23, no. 4, pp. 756–
757, 1978.
[12] L. Ljung, System Identification: Theory for
the User, 2nd ed., Prentice Hall, 1999.
