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Análisis Histórico Crítico de la Proporción en
Occidente desde el Período Griego hasta el
Renacimiento
Critical Historical Analysis of the Proportion in the West from the
Greek Period to the Renaissance
Ximena Idrobo Cárdenas
1,2
1
Escuela de Diseño Gráfico, Escuela Superior Politécnica de Chimborazo, Riobamba, Ecuador
2
Universidad de Oriente, Santiago de Cuba, Cuba
jidrobo@espoch.edu.ec
Resumen: El estudio de la proporción ha sido relevante en el
diseño desde el periodo griego hasta el Renacimiento. Existen
infinidad de tratados que abordan el tema, pero no de manera
explícita. De la inexistencia de un cuerpo teórico específico de la
proporción en los periodos de estudio, se establece como objetivo
determinar los elementos constitutivos de la proporción desde el
análisis histórico-crítico, a través del análisis de las definiciones
desde el periodo griego hasta el Renacimiento, el procedimiento
de diseño y la determinación o no de los componentes de un
sistema proporcional. Metodológicamente se procedió a utilizar
los métodos histórico-crítico para desentrañar los elementos que
caracterizan las proporciones o sistemas, el método analógico
proporcional para establecer los elementos comunes en las
definiciones que emergen en los periodos de estudio, el método
sistémico-estructural para la determinación de las directrices
aplicativas y los componentes de un sistema proporcional. El
análisis histórico crítico de la proporción desde el periodo griego
hasta el Renacimiento permitió establecer los elementos
constitutivos de la proporción que por su complejidad trasciende
el nivel de categoría compositiva y se convierte en sistema
proporcional, así como también demostrar la relevancia del
manejo de la proporción en el diseño y su vinculación con el
pensamiento y las consideraciones estéticas.
Palabras Clave- Definición de Proporción, Elementos de un
Sistema Proporcional, Periodo Griego, Renacimiento.
Abstract— The study of the proportion has been relevant in
the design from the Greek period to the Renaissance. There are
countless treaties that address the issue but not explicitly. From
the absence of a specific theoretical body of the proportion in
the periods of study, it is established as objective to determine
the constituent elements of the proportion from the historical-
critical analysis, through the analysis of the definitions from the
Greek period to the Renaissance, the design procedure and the
determination or not of the components of a proportional
system. Methodologically, the historical-critical methods were
used to unravel the elements that characterize the proportions
or systems, the proportional analog method to establish the
common elements in the definitions that emerge during the
study periods, the systemic-structural method for determining
the application guidelines and the components of a proportional
system. The critical historical analysis of the proportion from
the Greek period to the Renaissance allowed us to establish the
constituent elements of the proportion that, due to its
complexity, transcends the level of compositional category and
becomes a proportional system, as well as demonstrating the
relevance of the management of the proportion in the design
and its link with thought and aesthetic considerations.
Keywords— Definition of Proportion, E
lements of a
Proportional System, Greek period, Renaissance.
I. INTRODUCCIÓN
Bajo una perspectiva histórica, las civilizaciones
transformaron su entorno para organizar el territorio y
los espacios construidos con el manejo de una
proporción. En occidente el encuentro con lo estético
obligó al desarrollo de la proporción, presente en la
naturaleza y en el ámbito arquitectónico, en la primera
es una estrategia de organización que garantiza la
perpetuidad de la vida; en la segunda, su función es
organizar los espacios construidos donde prevalece esa
búsqueda incansable de los ideales de la relación
dicotómica entre forma y función, sostenidos durante
siglos en occidente, relación nutrida por los preceptos
doctrinales del positivismo.
La proporción –de manera preliminar– dentro del
ámbito del diseño es entendida como “la conveniente
correspondencia de las partes con el todo” [1], es una
categoría manejada por muchas civilizaciones a lo
largo de la historia y ha dado lugar al desarrollo de
distintos sistemas proporcionales – teorizados
parcialmente en unos casos, y en otros hay ausencia de
una teoría que los revele –, es en época reciente que
ciertos sistemas han sido teorizados y sistematizados,
de manera especial en Europa y Estados Unidos. En
Europa
el florecimiento de los textos históricos
dedicados parcial o completamente a la proporción se
Fecha de Recepción. 10 - 09 - 2019 Fecha de Aceptación. 20 – 12 – 2019
DOI: Pendiente
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produce desde el siglo XV, a partir del aporte de los
matemáticos y pensadores griegos
1
.
Por lo que el análisis histórico de la proporción
seguirá una trayectoria cronológica, que inicia en el
período griego dentro de dos aspectos imbricados: el
pensamiento y la matemática, para seguir en época
romana con el tratado de Vitruvio. En el periodo
medieval, escaso en documentos teóricos, se tendrá una
aproximación por los teóricos renacentistas y
posteriores, que intentaron revelar hipotéticamente la
concepción de la proporción y su aplicación.
En el renacimiento hay una revalorización de la obra
vitruviana, a partir de la cual se elaboran principios que
fundamentan la arquitectura uno de estos es la
proporción, a la par de los postulados arquitectónicos
de Vitruvio se recapitula el pensamiento de Platón, la
teoría matemática de Pitágoras y Euclides. Pero éstas
son reinterpretadas y ajustadas al marcado
antropocentrismo propio de la época [2]. Surgen
muchos tratados, los más relevantes son: las
traducciones comentadas
2
de De Architecture del
arquitecto romano Vitruvio, en 1450 y publicado en
1486 De Re Aedificatoria de León Battista Alberti
(1404-1472), I Quatro Libri dell’Architecttura
publicado en 1470 de Andrea Palladio (1508-1580), se
publica en 1537 uno de los libros del Treatise on
Architecture de Sebastiano Serlio (1475-1554);
ninguno de éstos son tratados teóricos de la proporción,
sin embargo la definición en ciertos casos está presente
y se desprenden elementos de análisis que aportan a la
categorización de un sistema proporcional.
En otras culturas, no solo la occidental, hay
evidencias de la aplicación de la proporción en la
producción arquitectónica pero que escasamente han
sido documentadas. Sin embargo, es indiscutible que en
todas las civilizaciones se planteó la necesidad de
elaborar un sistema, que apoyado en el orden y la razón
enfrente el problema del diseño y la construcción, es así
1
Esta abundante literatura sobre la proporción es corroborada por
ciertos teóricos que han investigado de manera extensa y
profunda una teoría de la proporción desde los inicios en
occidente hasta la primera mitad del siglo XX, como Rudolf
Wittkower [25] que identifica más de 900 estudios teóricos
realizados desde el siglo XIX y P.H. Scholfield señala más de
200.
2
Traducciones seguidas en italiano (Como, 1521), francés (Jean
Martin, 1547, [33] inglés, alemán (Walter H. Ryff, 1543) y
español y varios otros idiomas. Las ilustraciones originales se
habían perdido y la primera edición ilustrada era publicado en
Venecia en 1511 con ilustraciones de xilografía, basadas en
descripciones en el texto, probablemente por Fra Giovanni
Giocondo (Gros & Lemerle, 2013). Más tarde, en el siglo XVI,
Andrea Palladio proporcionó ilustraciones para el comentario de
Daniele Barbaro sobre Vitruvio, publicado en versiones italianas
y latinas. la ilustración más famosa es probablemente el Hombre
de Vitruvio de Da Vinci.
como bajo el amparo de la matemática y la geometría
se elaboraron proporciones ajustadas al pensamiento y
cánones estéticos particulares a cada cultura y en
correspondencia con el momento histórico. Al enfrentar
el est
udio histórico crítico de la definición de
proporción, mayoritariamente se hará referencia –cómo
se estableció en los párrafos precedentes–
a las
definiciones elaboradas desde occidente, por el impacto
que éstas han ejercido en la teoría del diseño.
De la inexistencia de un cuerpo teórico específico de
la proporción en los periodos de estudio, se establece
como objetivo determinar los elementos constitutivos
de la proporción desde el análisis histórico-crítico, a
través del análisis de las definiciones desde el periodo
griego hasta el Renacimiento, el procedimiento de la
aplicación en los objetos diseñados y la determinación
o no de los componentes de un sistema proporcional.
II. MATERIALES Y MÉTODOS
Metodológicamente se procedió a utilizar los
métodos histórico-
crítico para desentrañar los
elementos que caracterizan las proporciones o sistemas,
el método analógico proporcional para establecer los
elementos comunes en las definiciones que emergen en
los periodos de estudio, el método sistémico-estructural
para la determinación las directrices aplicativas y los
componentes de un sistema proporcional. Los
instrumentos utilizados fueron:
el análisis de
documentos bibliográficos, gráficos, apuntes, planos e
investigaciones asociadas al tema. El análisis es
cronológico desde el periodo griego hasta el
Renacimiento.
En la civilización griega –
heredera del
conocimiento matemático egipcio–
se elaboró un
cuerpo teórico de la proporción, pero con restricciones,
pues no se había desarrollado el álgebra
y el
conocimiento aritmético era reducido,
la práctica
constructiva se resolvía con la regla y el compás. Para
los griegos el “…concepto de orden arquitectónico, es
decir la proporción es la relación entre las partes para
conseguir la armonía entre elementos, materiales y con
el hombre…el hombre se convirtió en el centro con una
visión antropocéntrica de la realidad…las edificaciones
monumentales fueron signo de esa visión
antropocéntrica (…)” [3, pp. 150, 158]
Cuatro son los pensadores griegos, que de manera
relevante han tenido profundo impacto en la
interpretación de la proporción: Pitágoras (569 a.C. –
475 a.C.), Platón (427 a. C. – 347 a.C.) Euclides (325
a.C. – 265 a.C.) y Aristóteles (384 a.C. – 322 a.C.) .
Así, con relación a Pitágoras, hipotéticamente fundador
de la Escuela Pitagórica, al hablar del orden del mundo
puntualiza que la “esencia de las cosas” y el “orden
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mismo del mundo” no es otro que el orden de “los
números” [4]. Es así como un aporte pitagórico
fundamental para el renacimiento fue la descripción
matemática de los acordes sonoros de la 8ª, 5ª y 4ª
3
,
dando lugar a las proporciones denominadas
armónicas
4
trasladada a la arquitectura y también al
orden del cosmos “e incluso al del alma humana” [4, p.
43]
5
. Esta teoría de la proporción armónica definirá el
desarrollo de sistemas proporcionales arquitectónicos
durante el renacimiento.
En el siglo V e inicios del IV a.C., Platón dentro de
su eclecticismo filosófico, con una mayor influencia
pitagórica, en el diálogo de Timeo expone los aspectos
filosóficos del “origen de la especie humana y de la
naturaleza” [5, p. 131]. Manifiesta “Pero es imposible
combinar bien dos cosas sin una tercera, porque es
preciso que entre ellas haya un lazo que las una. No hay
mejor lazo que aquel que forma de él mismo y de las
cosas que une un solo y mismo todo. Ahora bien; tal es
la naturaleza de la proporción que ella realiza
perfectamente esto” [5, p. 167].
En el diálogo de Timeo expresa su admiración por
el número, la medida y la proporción con absoluta
claridad, además ve en ellos la condición de la belleza
[6, p. 36 capítulo 2]. Esta concepción teológico-
filosófica con argumento geométrico, identifica a la
proporción como la exacta relación entre tres elementos
para el caso de las superficies (se infiere a la expresión
proporcional a: b: c) y cuatro elementos en el caso de
los sólidos (se infiere a la expresión proporcional a: b:
c: d)
6
, con la unidad mayor o el todo.
Para Aristóteles discípulo de Platón (384 a.C. – 322
a. C), lo bello es una unidad conformada por Taxis que
3
Ver en Burkert, W. (1972). Lore and Science in Ancient
Pythagoreanism, (translated by Edwin L. Minar Jr.) Cambridge,
Massachusetts: Harvard University Press.
4
La proporción armónica R. Wittkower la define como: “Tres
términos están en proporción armónica cuando la distancia entre
cada extremo y la media, dividida por el extremo respectivo, es
equivalente. Tomemos la proporción 6:8:12; la media 8 excede a
6, y es superada por 12 en un tercio de 12.” Ver Wittkower, R.
(1995) Los fundamentos de la arquitectura en la edad del
humanismo. Madrid: Alianza Madrid, página 211. Según el
Diccionario de la Real Academia Española la proporción
armónica es:
“Serie de tres números, en la que el máximo tiene respecto del mí
nimo la misma razón que la diferencia entre el máximo el medio
tiene respecto de la diferencia entre el medio y el mínimo; p.
ej., 6, 4, 3.”
5
Para una descripción más detallada sobre la consonancia y las
proporciones ver García, A. (2006), El Concepto de Consonancia
en la Teoría Musical De la Escuela Pitagórica a la Revolución
Científica. (en 2.2. La primitiva Escuela Pitagórica) España:
Publicaciones Universidad Salamanca, pp, 42-51.
6
Ver Platón. (1872) Obras completas. Madrid: edición de Patricio
Azcárate, tomo VI, p. 167-168.
es la distribución en el espacio de las partes
componentes de un objeto bello, Symmetría es la
correcta proporción de las partes y To horismenón, es la
extensión o tamaño de lo bello [7]. La simetría está
subordinada a la proporción y relaciones
proporcionales entre las partes de una unidad.
Hacia el siglo III a.C. Euclides en la obra Elementos
formada por trece libros, cada uno con definiciones y
proposiciones, los libros V, VI y VII son relevantes
para este estudio.
En el libro V de Euclides, la definición 6 determina:
“Se llaman proporcionales las magnitudes que guardan
la misma razón” –hace una extensa presentación sobre
la sección áurea y el número 1,618– , introduce el
concepto de proporcionalidad, se traduce como a : b :: c
: d, o sea a es a b como c es a d, tanto en las
definiciones como en las proposiciones no llega a
especificar que es la proporción pero establece las
distintas relaciones proporcionales geométricas
7
entre
las magnitudes y establece los componentes de las
razones y sus distintos tipos. [8, pp. 9-15] [9, pp. Libros
V-VI] [10]. Esta teoría que según algunos autores tiene
influencia pitagórica, es uno de los argumentos que
favorece el desarrollo de la proporción en el medioevo
y en el renacimiento.
En época romana, Vitruvio arquitecto romano (80-70
a.C. – 15 a.C.) produce el tratado De Architectura,
inspirado en los teóricos helenísticos griegos, es un
compendio importante de su época en lo que se refiere
al arte de diseñar y construir, orientado hacia la práctica
del quehacer arquitectónico, en el “Compendio De los
diez Libros de Arquitectura de Vitruvio” de Claudio
Perroult se establece que la arquitectura tiene ocho
partes: “Solidéz, Comodidad, Belleza, Ordenación,
Disposicion, Proporcion, Decoro y Economía”, llega a
definir la proporción como:
“la articulación armoniosa de cada parte de los
miembros dentro de todo el conjunto; de ella se deriva
la razón de las simetrías (…) La Proporción, que
también se llama Eurithmia, es la que forma el
conjunto de todas las partes de la Obra y les dá un
hermoso aspecto quando la altura corresponde á su
ancho y éste á su largo, teniendo la toda su justa
medida. Difinese diciendo que Proporción “es el
respecto de toda la Obra con sus partes, tienen
separadamente con la idea del todo, según la medida
de alguna de ellas“ [11, pp. 23-24]. En la última parte
se advierte la presencia de una referencia, por lo que se
infiere la existencia del módulo.
7
R. Wittkower define a la proporción geométrica como aquella en
que “el primer término es al segundo lo que el segundo al tercero,
por ejemplo 1:2:4”, op. cit., p. 211.
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En la traducción comentada de Ortiz Sanz sobre la
misma obra, en el Libro III, en el capítulo I “De la
composición y simetría de los Templos”, la
composición –de los templos– depende de la simetría y
esta nace de la proporción, en griego llamada analogía,
define a la proporción como: “la conmensuracion de
las partes y miembros de un edificio con todo el
edificio mismo, de la qual procede la razon de
simetría” [12, p. 58]. Es decir, la proporción establece
la relación de la igualdad de las partes a través de
determinada relación proporcional para lo cual se
necesita de una razón. [12, pp. 143-160]. En las dos
traducciones citadas, el término proporción alude a la
relación de las partes entre sí y con el todo. Vitruvio y
su tratado tendrán influencia durante el periodo
medieval y en el renacimiento.
En el periodo romano, a más de utilizar proporciones
armónicas, utilizaron proporciones fundadas en
números irracionales cómo √2. Se encuentran
principalmente tres tipos de formas geométricas con
proporciones: 1:1 (cuadrado), 1: √2 (rectángulo √2) y 1:
1 + 2 (rectángulo romano), si son removidas o añadidas
entre si se tiene formas recurrentes que corresponden a
la serie Pell.
8
[13, p. 553]
El tipo de conocimiento del sistema de proporción
romano es una construcción geométrica [13, p. 554],
denominada “sacred cut” (corte sagrado) por el
arquitecto Tons Brunés [14] . El uso recurrente del
octógono fue trasladado a época medieval y
renacimiento [1], evidente sobre todo en las
edificaciones de la península ibérica, que sufrieron un
proceso de hibridación con la herencia mozárabe.
8
Ver las propiedades de los números Pell en Kappraff, J. (2015)
Musical Prpoportions at the Basis of Systems of Arquitectural
Proportion both Anciente and Modern (Architecture and
Mathematics from Antiquity to the Future: Volumen I), pp. 552-
554.
Siguiendo en el periodo romano, Sebastiano Serlio
(1475 – 1540) en el Tercero y Cuarto Libro de
Arquitectura, pone énfasis en las medidas y
proporciones de las construcciones que él llama
antiguas –refiriéndose a la arquitectura Romana– e
identifica como unidad de medida de construcción, “el
palmo antiguo (romano)” [15, p. 19] [16]. Serlio al
describir el procedimiento del dibujo dice que primero
se debe dibujar una armadura guía del cuerpo
geométrico del edificio –es decir una retícula–, todas
las líneas que no se pueden ver están ocultas (ocultas)
[17]
Jay Hambidge (1867-1924), artista que estudió la
aritmética en los objetos cerámicos griegos, papiros
egipcios y algunas construcciones clásicas, fundamentó
la presencia de la proporción y la simetría, que luego
del estudio prolijo de estos objetos creó la teoría de los
rectángulos dinámicos como generadores de la forma a
través del método de modulación armónica concibiendo
redes dinámicas. Un ejemplo de dichos estudios se
puede observar en la Figura 1. A “diferencia de la
teoría modular estática atribuida a Vitruvio” [18, p.
158], define a la proporción como: “Proportion is the
commensuration of the various constituent parts with
the whole, in the existence of which symmetry is found
to consist.” [19, p. 9].
En el periodo medieval es escasa la documentación
sobre la proporción, sin embargo en estudios
posteriores desarrollados ya en el renacimiento como
los diferentes tratados de Matthäus Roritzer (1435-
1495)
9
entre otros, se establece que hicieron uso del
cuerpo teórico de la geometría griega y de la
concepción vitruviana de la proporción de la época
romana, al parecer la proporción entendida como la
relación de las partes, se aplicó en la arquitectura
religiosa, estableciéndose relaciones proporcionales
geométricas. Los arquitectos recibían formación –entre
otras cosas– en teoría de las proporciones [20, p. 2]
Dentro del Medioevo, en el periodo Gótico, para el
diseño de las catedrales, se usaron dos sistemas
proporcionales geométricos: Ad quadratum y Ad
triangulum [21, pp. 116-120]. El primero consiste en la
obtención del cuadrado para obtener el octagrama con
dos cuadrados superpuestos y uno girado a 45°, la
altura del edificio es igual a su anchura en proporción
1:1. El otro sistema fue el Ad triangulum que consiste
en la triangulación, con el empleo mayoritario de los
triángulos equilátero, el rectángulo y el pitagórico. En
el triángulo equilátero la relación proporcional entre
uno de sus lados y la altura es de √3, es un número
irracional difícil de manipular para la obtención de
9
Tomado de Soler, F. (2014) Trazados reguladores de la
Arquitectura. California, EEUU: Creative Commons, cita 7, p.
xiii
Fig. 1. El Partenón, edificación griega, inferencia de guías reticulares
de J. Hambidge [18, p. 158].
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múltiplos y submúltiplos en la edad medieval. Este
procedimiento al parecer se utilizó en la Catedral de
Milán o en la Catedral de Salamanca [1].
En el Renacimiento la definición que se da a la
proporción está vinculada al pensamiento humanista
con doctrina cristiana, herencia matemática pitagórica y
pensamiento platónico [13, p. 550], vinculada a
recuperar los principios de la arquitectura clásica
grecolatina y al estudio del hombre y sus relaciones
proporcionales se trasladan al ámbito arquitectónico.
De los tratados clásicos y más conocidos: varias
traducciones de Los diez Libros de Arquitectura de
Vitruvio, Trattato de Filarete, Trattato di Architettura
de Francesco di Giorgio, Diez Libros de la Arquitectura
de Alberti, Cuatro libros de la Arquitectura de Palladio,
Cinco Libros de la Arquitectura de Serlio, indican
sobre la importancia del uso de la proporción en el
diseño y construcción arquitectónica.
Sin embargo, el procedimiento exacto de la
aplicación del sistema proporcional no es explícito, esto
obedece quizás a que este principio estaba vinculado al
ámbito práctico de los constructores y artesanos, como
lo señalan algunos autores como Weber y Larner [22,
p. 150] guardado por los masónicos (constructores)
durante la Edad Media y el Renacimiento, un tipo de
conocimiento secreto solamente expuesto a los
aprendices.
Antonio Arvelino llamado Filarete (1400-1469), en
su Trattato (25 cuadernos), establece una analogía entre
el cuerpo humano y la concepción de la ciudad de
Sforzina. A través de dibujos hace la demostración de
las proporciones que debe existir en la ciudad ideal, que
nunca fue construida y que influyó en sus
contemporáneos como Francesco di Giorgio (1439-
1501). En esa analogía dice: “Así como el tamaño de
un hombre está en armonía con el tamaño de sus
miembros, así los miembros de un edificio "deben ser
proporcionales al cuerpo del edificio (corpo
dell'edifcio)"
10
[17, p. 3]. Es un libro poco claro, en
lenguaje vulgar y el método propio de un arquitecto
que hizo uso del procedimiento metonímico, es decir de
la idea a la práctica. Parte de sus análisis gráficos de la
proporcionalidad antes citada pueden ser apreciados en
las Figuras 2 y 3.
En Filarete, la proporción se infiere que es la
relación de las partes y con el corpus (el edificio). La
qualità (calidad) es la teoría central en la noción de
proporción de Filarete. En la catedral de Sforzina la
qualità se deriva de la figura humana de tres maneras:
medida, miembros y proporción. En donde la
proporción es: “Quando l’uomo è bene formato e che
corrisponda bene l’uno membro coll’altro, allora si
dice essere bene proporzionato”.
11
Añade “(…) Ben
sai che quando avesse spalle
bistorte e membra
contrafatte, allora è male proporzionato...”
12
, es
decir no solo las partes deben estar en armonía entre
ellas, sino que cada parte tiene correspondencia con el
todo y la alteración de una parte significa la alteración
del conjunto.
10
Traducción del latín al inglés de John Spencer, Filarete’s Treatise
on Architecture, Yale University Press: New Haven, 1965.
11
En proporción, tanto un edificio como un hombre están bien
proporcionados cuando un miembro se corresponde bien con
otro”. Trattato, fol. 2v (p. 14, Grassi). Traducción del italiano al
inglés de John Spencer, Filarete’s Treatise on Architecture, Yale
University Press: New Haven, 1965, cita 69.
12
ibíd. fol.2v. “El caso es similar con los miembros: cuando un
miembro está retorcido o malformado, la proporción del todo
será, por lo tanto, deficiente.” cita 70.
Fig. 2. Sistema proporcional con el cuadrado: ad quadratum. Chiesa
maggior under construction ad quadratum (Filarete, Francesco di
Giorgio, Prudence) [17, p. 3].
Fig. 3. Sistema proporcional por triangulación: ad triangulum. Idea
geometricae architectonicae: Milan Cathedral (Cesariano) [17, p. 3].
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Francesco di Giorgio (1439-1501), en su Trattato di
Architettura [23] sigue ciertos
preceptos de Vitruvio,
así retoma los conceptos básicos de ordenatio (orden),
dispositio (arreglo), euritmia (proporción), decoración
(decoro) y simétria (simetría) [24, p. 4] como conceptos
básicos para el desarrollo de la arquitectura; aboga por
un enfoque geométrico y modular de la arquitectura y
cree que las proporciones deben referirse a las del
cuerpo humano.
La idea de proporción para Leon Battista
Alberti (1404 - 1472) está asociada a la belleza,
definida como “la armonía y concordancia de todas las
partes, lograda de tal manera que no pueda añadirse,
quitarse o alterarse nada sin que el resultado empeore”
[25, p. 55] (concinnitas universarum partium) y que
debe ser inherente al edificio, diferenciado del
ornamento que es el añadido sujeto al gusto personal.
La armonía que es la esencia de la belleza es la relación
de las partes con el todo, es decir la proporción. “Su
característica principal es la idea clásica del
mantenimiento de un sistema uniforme de proporciones
en todas las partes de un edificio. Y la clave de las
proporciones correctas es el sistema pitagórico de
armonía musical.“. [25, p. 56].
En el renacimiento, el arquitecto italiano Leonardo
Da Vinci (1452-1519) estableció principios
arquitectónicos que se extendieron en aquel periodo. La
proporción identificada en sus apuntes compilados en
algunos códices ha sido ampliamente estudiada. En la
investigación de F. Di Teodoro [26, p. 2], se hace
interpretaciones geométricas, afirmando que no alteró
el plano original, de algunos ejemplos que el autor
denomina significativos, es el caso de la Iglesia
Centralizada (ver Figura 4). Este ejemplo muestra la
característica de flexibilidad de la retícula, evidente en
la retícula gestada desde el rectángulo áureo, a partir
del que se forma una estrella de ocho puntas, desde la
cual se proyectan las líneas reticulares en sentido
cartesiano (ejes X y Y), así como también líneas
reticulares a 45°. El resultado son una serie de
rectángulos y cuadrados homotéticos, generando una
retícula flexible que permite orientar el diseño en
sentido ortogonal, radial y concéntrico.
En otros planos y anotaciones, se observa que la
retícula no es constante, varía según la ideación del
proyecto; cuando hace uso del cuadrado, este parte de
una segmentación básica en nueve partes, que más
adelante se observará también en la obra de Andrea
Palladio. Para entender las fachadas de manera
hipotética, obedecen a relaciones proporcionales
similares a las trabajadas en planta, aunque Da Vinci no
hizo suficientes anotaciones al respecto. Por todo lo
antes mencionado se establece que el manejo de la
proporción áurea está implícita, solo revelada una vez
que se desarrolla el gráfico reticular, siendo ésta
geométrica antes que aritmética.
En el tratado de Los Cuatro libros de la Arquitectura
de Andrea Palladio (1508 –1580) traducido por Ortiz y
Saenz, quién traduce dos de los cuatro libros, las
láminas adjuntas son material para realizar el análisis
que preocupa a esta investigación. En el libro primero,
se refiere a la proporción como la relación que tienen
entre sí, el largo, ancho y altura de los edificios,
vinculando la relación proporcional a cuestiones
estéticas y funcionales; estas relaciones se derivan de
los principios establecido por Vitruvio [27, p. 3].
En el prólogo de la obra se advierte que Palladio usó
en la obra el pie vicentino (35,2893 cm). En el libro
indicado, en el capítulo XXIII al referirse a la
proporción que deben tener las habitaciones, indica:
[…] “Redondas, aunque raras veces: quadradas:
quadrilongas por la diagonal de un quadrado de su
anchura: de un quadrado y un tercio: de un quadrado y
medio: de un quadrado y dos tercios; y de dos
quadrados.” [27, p. 31]. Para las alturas de las bóvedas
obtiene relaciones proporcionales por procedimientos
geométricos y aritméticos, siempre se consideran la
relación proporcional en función de la longitud y la
latitud de un rectángulo como base, como se aprecia en
la lámina XXVI del libro I. [27, p. 32]. En las cornisas
y arquitrabe establece las alturas en relación
proporcional al arquitrabe, no queda muy clara la
lógica de división, se evidencia una mezcla de serie de
Fibonacci y triángulo pitagórico 3,4 y 5, como se ve en
la lámina XXII del libro I. [27, pp. 35-37].
Después del análisis en varias de las láminas (lámina
XXX en adelante) se observa una retícula conformada
por módulos cuadrangulares, cuya dimensión
corresponde a dos diámetros de las columnas, que en
Fig. 4. En el códice Ashburnham folio 5V antes manuscrito B (2184)
la Iglesia Centralizada e Ingeniería Marítima
[26, p. 2].
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ocasiones presenta fragmentación binaria para otorgar
flexibilidad a los espacios requeridos según las
necesidades. La forma general de la planta de las villas
paladinas se ajusta a la disponibilidad del terreno como
se evidencia en la lámina VII [27, p. 47].
Daniele Barbaro (1514-1570) amigo de Palladio y
traductor de De Architectura (en diez libros) de
Vitruvio, define a la proporción “como la relación de
dos razones” y la proportionalità como la relación de
dos magnitudes [25, p. 180] [28] [29]. Reemplazó las
medidas antropomórficas de Vitruvio con el Sistema
Proporcional basado en la teoría musical, que más tarde
será adoptado por Palladio [30, p. 450] evidente en el
Quattro Libri.
En el Libro Segundo de Silvio Belli, matemático
Veneciano muy cercano a Palladio se refiere a la
proporción “fi dice la quantitá d’un quanto in
corporatione d’un altro quanto de la fue fpecie” [31, p.
86].
III. RESULTADOS Y DISCUSIÓN
En el período griego, Pitágoras, Platón y Aristóteles,
establecen para la proporción nociones generales, que
trascienden el ámbito de la matemática y van más allá
de las consideraciones estéticas. Ésta es concebida
como una categoría compositiva de orden, que permite
la comprensión del entorno y del universo y,
explícitamente tiene vínculos teológicos. Este
lineamiento pitagórico-platónico y de alguna manera
aristotélico, se desarrollará profusamente durante el
renacimiento. Además, los dos primeros autores
determinan las relaciones proporcionales ideales que
deben existir entre los elementos y manifestadas a
través de la razón, término ampliamente desarrollado
por Euclides.
Asimismo, De los Elementos de Euclides se infiere
que la proporción es la igualdad entre dos razones, una
noción matemática y no metafísica en relación a sus
antecesores Pitágoras y Platón, Euclides ahonda en las
relaciones proporcionales, estableciendo los elementos
y las propiedades de la razón, identificada ésta en la
definición 3, como ya se mencionó, en el siglo XX R.
Wittkower [25, p. 211] diferencia entre proporción y
relación proporcional, la primera definida como la
igualdad de relaciones proporcionales entre dos pares
de cantidades (aquí es importante la razón) y, la
segunda como una relación entre dos cantidades. Esta
diferenciación es importante aclararla para entender
mejor el concepto de proporción. Estos autores más
otros teóricos griegos influirán en Vitruvio.
En el periodo Romano, Vitruvio a lo largo de su
tratado, da indicaciones sobre la aplicación de la
proporción en diferentes tipos de objetos
arquitectónicos basados en los órdenes griegos, como
las relaciones proporcionales que deben tener en planta
y elevación de las habitaciones, así como también entre
los elementos de las columnas, basados en el módulo
del pie romano antiguo
13
; sin embargo este extenso
tratado es carente de una teoría de un sistema
proporcional, en gran medida porque el objetivo fue el
direccionamiento práctico. [32]. Introduce un sistema
de medidas basado en mediciones antropomorfas,
mencionadas en los libros I,2,4; II,1,7; III,1,7; VI,8,9,
como el dígito, palma, palmo y codo, que se
denominaron «digitus», «palmus», «pes» y «cubitus».
En la edad media la serie de números
inconmensurables más conocidas son derivaciones de
la diagonal del cuadrado √2=1,4142, denominado
construcción “ad quadratum”, de donde Hambidge
[19, p. 23] establece la secuencia de rectángulos
dinámicos
14
basados en las razones √3 = 1,732, √5=
2,236, en la razón áurea φ= 1,618, √1,618= 1,272, φ
2
=
2.618, igualmente señala que se utilizaron sistemas
proporcionales derivados de los triángulos equiláteros o
isósceles, sistema denominado “ad triangulum”
A finales de la Edad Media el método para establecer
las relaciones proporcionales era el “ad quadrattum”
que consiste en el trazo de las diagonales del cuadrado
y las diagonales de los rectángulos medios para obtener
puntos de
intersección y ubicar distintos elementos por
ejemplo vanos de puertas, ventanas, etc.
En el Renacimiento, de Filarete se desprende la
existencia de un sistema proporcional, basado en el
método el ad cuadratum y ad triangulum, este
procedimiento requiere –como lo describe Serlio– de
líneas guías ocultas llamadas retícula. Esto se
desprende del dibujo de la catedral de Sforzinda, la
planta cuadrada de 150 braccia se divide en 15
cuadrados y cada cuadrado tiene 10 braccias, formando
una retícula invisible sobre la cual se colocan las
paredes y las columnas, este proceso de diseño
proporcionado (grilla) a través del Trattato se transfiere
en la implantación para la ejecución de la obra, retícula
que además sirve para escalar el diseño, entra un nuevo
elemento en el sistema: la escala.
Por otro lado, Francesco di Giorgio a diferencia de
Vitruvio, no prioriza el uso de las proporciones exactas
y cánones rígidos, estarán a conveniencia del arquitecto
y de la necesidad, siempre y cuando el arquitecto se
adhiera a un procedimiento geométrico. Sigue
13
El valor del pie romano antiguo tiene ligeras desviaciones entre
un autor y otro, parece que la más próxima es 0,296 m. (Durán,
2004)
14
Según Hambidge un rectángulo dinámico es aquel en el que la
relación del lado mayor al lado menor es un número irracional, en
oposición a los rectángulos estáticos que dan razones enteras por
ejemplo en √4= 2.
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principios similares a los de Filarete en la aplicación de
la proporción, hace uso para el diseño de los templos, el
trazado basado en el procedimiento de ad quadratum
[23, pp. 180-228].
15
Mientras que, las relaciones proporcionales
recomendadas y utilizadas por Alberti son: 1:1, 1:2,
2:3, 3:4, encontradas por él en edificios clásicos como
el Partenón, que a su vez corresponden a la escala
musical griega. según Alberti en el libro noveno las
proporciones 1:2, 2:3,3:4 se ajustan a la ley de la
armonía [25, p. 21].
Siguiendo en el Renacimiento, se evidencia que
Leonardo Da Vinci [26, p. 2] hizo uso de algunos
elementos dentro de un sistema proporcional, la
existencia de una retícula que en la mayoría de los
casos es generada desde el rectángulo áureo o un
cuadrado circunscrito en el círculo, formas iniciales que
a partir de uno u otro, forma paralelogramos mayores
con segmentos proporcionales a las formas básicas.
Según Wittkower, Palladio utilizó la proporción
basada en la escala musical griega 1:2:3:4, con
consonancias obtenidas de la media aritmética y la
media armónica
16
, usando como módulo el diámetro de
la columna [25, p. 175], pero no la única, también
según el mismo autor, utilizó la proporción 3:5, se
denomina la quinta perfecta en la escala musical
pitagórica, se evidencia en la predilección por las
habitaciones de 18:30 y 12:20, así mismo hay edificios
en los que utilizó las proporciones 4:5, 5:6, 3:5, 5:9, a
más de aplicar otras proporciones que se derivan de los
cambios proporcionales introducidos en el siglo XVI a
partir de los estudios en la teoría musical de Ludovico
Flogiano de Móneda (1490-1539)
17
que aparte de las
15
Ver más sobre la teoría de arquitectónica de Francesco di Giorgi
en Betts, R. (1971) The Architectural Theories of Francesco di
Giorgio. (Unpublished thesis (PhD)). EE.UU: Princeton
University.
16
Muchos escritos posteriores a la escuela pitagórica relatan el
descubrimiento y la investigación de las proporciones musicales
por parte de los pitagóricos o del mismo Pitágoras. Este
descubrimiento surge de la constatación de que ciertos sonidos
musicales, al producirse simultáneamente, son biensonantes. Los
pares de sonidos que producían en el oyente la sensación de
biensonancia fueron llamados symphonía [συμφωνι¿α], lo que se
corresponde con nuestra palabra de origen latino: consonancia.
(…) El sistema musical griego se basaba en los intervalos de
octava, quinta y cuarta. Sus organizaciones tonales dividían la
octava mediante cuartas y quintas, considerándose la cuarta, por
tanto, el intervalo fijo más pequeño del sistema. (…) Lo más
normal es pensar que fueron las longitudes de cuerdas (o en todo
caso de tubos sonoros) las que llevaron a la formulación de la
proporción 2/1 para la octava, 3/2 para la quinta y 4/3 para la
cuarta. (García, op.cit., p. 44)
17
Ver Williams & Ostwald. (2015) Architecture and Mathematics
from Antiquity to the Future: Volumen I. Suwtserland: Birthäuser,
página 572.
consonancias de Pitágoras existían más
18
, y la
influencia fundamental de Gioseffo Zarlino (1514-
1590) [33] que con el uso de la media aritmética y
media armónica pitagórica dividió la octava en doce
partes, revelando nuevas proporciones que fueron
transferidas por Palladio a algunas de sus obras.
Todo lo expuesto sobre la proporción en el
renacimiento, al significado metafísico debería
añadirse, aunque no es el objetivo de esta investigación,
las ideas cristianas sumado a las del simbolismo sobre
los números y el pensamiento platónico del cosmos;
éstas incidieron de manera relevante en la concepción y
aplicación de los sistemas proporcionales por los
distintos arquitectos de este periodo, la proporción tiene
una manifestación matemática y metafísica, fue la
explicación del cosmos y del entorno, de manera
consciente o no tan conscientemente, se transfirió el
pensamiento griego al Renacimiento.
En la Tablas I se sintetiza las definiciones de
proporción manejadas desde la época griega hasta el
renacimiento.
De todas estas definiciones y diversos
procedimientos en su aplicación en los distintos
periodos analizados, se establece que la proporción es
la relación de las partes entre sí y de estas con una
unidad mayor. Las relaciones se han establecido según
concepciones filosóficas, y traducidas en el ámbito
práctico en relaciones estéticas. Asimismo, en la
aplicación e implementación, trasciende el ámbito de
categoría compositiva, para convertirse en sistema
proporcional, con distintos elementos que interactúan
entre sí.
De las definiciones, descripción de los
procedimientos proporcionales en los distintos
periodos y análisis de los planos se desprenden los
elementos constitutivos del sistema, que son: unidad de
medida considerada en las secuencias distributivas del
módulo; módulo es el factor espacial del que describe
su secuencia de repetición y da lugar a la red; límite, a
nivel externo, son las medidas envolventes del terreno
edificable, a nivel interno son las medidas de las
habitaciones; razón es la relación de dos magnitudes;
red son las líneas guías que sirven de soporte al diseño;
escala es la relación de medidas en relación con un
referente; relación antropométrica para el
establecimiento de unidades de medida y módulos; y,
sistema constructivo no como componente del sistema
pero que orienta el establecimiento de un sistema
proporcional.
En la Tabla II se sintetiza los elementos encontrados,
que ayudan en la construcción de un sistema
proporcional.
18
Ver Wittkower, R. op.cit., página 175.
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ABLA
MATRIZ DE DEFINICIONES CRONOLÓGICAS DE PROPORCIÓN PERIODOS GRIEGO, ROMANO, MEDIEVAL Y RENACIMIENTO
Item
Autor
Periodo
Definición
Fuente
1
Pitágoras
(569 a.C. –
475 a.C.)
Griego
“la relación que establece dos cantidades comparables entre sí”
[4]
2
Platón (427
a.C. – 347
a.C.)
Manifiesta que es imposible combinar bien dos cosas sin una tercera, hace falta
una relación entre ellas que las ensamble, la mejor ligazón para esta relación es
el todo. La suma de las partes es la más perfecta relación de proporción.
[3]
Pero es imposible combinar bien dos cosas sin una tercera, porque es preciso
que entre ellas haya un lazo que las una. No hay mejor lazo que aquel que forma
de él mismo y de las cosas que une un solo y mismo todo. Ahora bien; tal es la
naturaleza de la proporción que ella realiza perfectamente esto.
[5]
3
Aristóteles
(384 a.C. –
322 a.C.)
Symmetria es la correcta proporción de las partes.
[7]
“la proporción consiste en la igualdad de las relaciones numéricas”
[25]
4
Euclides (325
a.C. – 265
a.C.)
De los Elementos de Euclides se infiere que la proporción es la igualdad entre
dos razones.
[8]
5
Vitruvio (80-
70 a.C. – 15
a.C.)
Romano
“la articulación armoniosa de cada parte de los miembros dentro de todo el
conjunto; de ella se deriva la razón de las simetrías (…). La proporción, que
también se llama Eurithmia, es la que forma el conjunto de todas las partes de la
Obra y les dá un hermoso aspecto cunado la altura corresponde a su ancho y este
a su largo, teniendo el todo su justa medida. Definese diciendo que Proporción
es el respecto de toda la Obra con sus partes, tienen separadamente con la idea
del todo, según la medida de alguna de ellas”
[11]
“la conmensuración de las partes y miembros de un edificio mismo, de la cual
procede la razón de simetría”
[12]
6
Matthäus
Roritzer
(1435 –
1495)
Medioevo
Se establece que hicieron uso del cuerpo teórico de la geometría griega y de la
concepción vitruviana de la proporción de la época romana, la proporción
entendida como la relación de las partes se aplicó en la arquitectura religiosa,
estableciéndose relaciones proporcionales geométricas
[1]
7
Panofsky,
Erwin
“una organización siguiendo un sistema de partes y de partes homólogas”
[38]
8
Kappraff, Jay
Renacimiento
La proporción está vinculada al pensamiento humanista con doctrina cristiana,
herencia matemática pitagórica y pensamiento platónico
[13]
9
Antonio
Arvelino
llamado
Filarete
(1400-1469)
“Así como el tamaño de un hombre está en armonía con el tamaño de sus
miembros, así los miembros de un edificio deben ser proporcionales al cuerpo
del edificio (corpo dell’edificio)”. En proporción, tanto un edificio como un
hombre están bien proporcionados cuando un miembro se corresponde bien con
otro.
[17]
10
Francesco di
Giorgio
(1439-1501)
El término proporzioni (proporción) al referirse a la relación de las partes de los
diferentes espacios dentro de la edificación, así como también entre los
elementos constructivos como las columnas, para lo cual remite, por ejemplo,
para el diseño de los templos, a un trazado basado en el procedimiento de ad
quadratum.
[23]
11
Sebastiano
Serlio (1475-
1540)
Como la relación de las partes entre sí y de estas son una unidad mayor
[15]
(…) todas las líneas que no se pueden ver están ocultas (ocultas). Tampoco hay
ninguna diferencia entre un cuerpo transparente (corpus) y un cuerpo sólido …
[como en un cuerpo humano] la carne cubre el esqueleto, pero el esqueleto está
ahí, oculto en su interior (…) [17]
[15]
12
León Battista
Álberti
(1404-1472)
“la armonía y concordancia de todas las partes, lograda de tal manera que no
pueda añadirse, quitarse o alternarse nada sin que el
resultado empeore
(concinrita universarum partium)”
[25]
13
Leonarfo da
Vinci (1452-
1519)
De la interpretación que hace F. Di Teodoro de los aportes de Leonardo Da
Vinci se infiere que buscó la relación de las partes entre sí con el todo a través
de un sistema reticular.
[26]
14
Andrea
Palladio
(1508-1580)
La proporción como la relación que tienen entre sí el alrgo, ancho y altura de los
edificios, vinculando la relación proporcional a cu
estiones estéticas y
funcionales, estas relaciones se derivan de los principios establecidos por
Vitruvio.
[27]
15
Daniele
Barbaro
(1514-1570)
“como la relación de dos magnitudes” y la proporcionalitá como la
“comparación de una proporción con otra”
[25]
16
Silvio Belli
(1520-1579)
“Dice la cantidad de uno en la comparación de otro tanto como su especie”
[31]
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IV. CONCLUSIONES.
El análisis histórico crítico de la proporción desde el
periodo griego hasta el Renacimiento permitió,
establecer los elementos constitutivos de la proporción,
así como también demostrar la relevancia del manejo
de la proporción en el diseño y su vinculación con el
pensamiento y las consideraciones estéticas.
Esto se logró a través de identificar los elementos
desde el análisis de las definiciones, explicitadas o
inferidas en los periodos de estudio y, que con claridad
fueron enunciadas en la Tabla I. Y, llegar a definir a la
proporción como la relación de las partes entre sí y de
estas con una unidad mayor. Las relaciones se han
establecido según concepciones filosóficas, y que
traducidas al ámbito práctico se convierten en
relaciones estéticas.
Del mismo modo, la investigación sobre el
procedimiento de diseño permitió la identificación de
los elementos que concurren al momento de hacer uso
de la proporción, determinándose que desborda la
calidad de categoría compositiva y se convierte en
sistema proporcional.
Para finalmente determinar como elementos del
sistema proporcional en los periodos de estudio: la
unidad de medida, módulo, límite, razón, red, escala,
relación antropométrica. Estos a su vez, por su
complejidad, se sugiere que sean agrupados en
categorías formando subsistemas, esto es tema de otro
ensayo.
REFERENCIAS
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I, K.
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T
ABLA
II
MATRIZ DE ELEMENTOS CONSTITUTIVOS DE SISTEMA PROPORCIONAL
Elementos Constitutivos
Griego
Romano
Medioevo
Renacimiento
Unidad
Sin identificar
Pie Romano
Pie Romano
Pie Vicentino (35,2893
cm)
Módulo
Variable
Pie Romano
Pie Romano
Teoría de la modulación,
dos diámetros de las
columnas
Límite
El todo
El todo
El todo
Perímetro del terreno a
edificar
Razón
Diversas 1,618
Diversas: 1:1, 1:1 (cuadrado),
1:
√
2
(rectángulo
√
2
) y 1:1+2
(rectángulo romano)
1,618
1:306, 1:4142, 1:50,
1:66, 1:60
Red
Con líneas ortogonales y
diagonales
Con líneas ortogonales y
diagonales
Con líneas ortogonales y
diagonales con ángulos de 45°
Generada desde un
módulo y, es flexible,
permite diseño
ortogonal, radial y
concéntrico
Escala
Sobredimensionado
Sobredimensionado
En función del ancho en
relación 1:1 y 1:
√
3
En función del largo y
ancho del edificio, surge
de lo funcional
Relación Antropométrica
Hombre
Sistemas de medidas
antropomórficas
Cuerpo Humano
Cuerpo Humano
Sistema Constructivo
Adintelado
Adintelado
Muros auto soportantes y,
columnas en el gótico
Muros auto soportantes
y columnas
Vínculo
Armonía musical, orden
cósmico, de la noción
metafísica se pasa a la
matemática
Construcción Geométrica
Sistemas proporcionales
geométricos: Ad quadratum y
Ad triagulum
Sistema Pitagórico de
armonía musical, serie
de Fibonacci y triángulo
pitagórico 3, 4 y 5
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Revista Técnico - Cientíca PERSPECTIVAS
e -ISSN: 2661-6688
Volumen 2, Número 1. (Enero - Junio 2020)